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一、向量的有关概念
（一）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
数量只有大小没有方向。
（二）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.记作0.
（三）单位向量：长度等于1个单位的向量.
单位向量的方向不确定，且有无数个。
（四）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.记作a∥b.
规定：0与任一向量平行.
（五）相等向量：长度相等且方向相同的向量.记作a=b.
（六）相反向量：长度相等且方向相反的向量.a+b=0.
二、向量的线性运算
（一）加法，求两个向量和的运算，可利用三角形法则和平行四边形法则运算。
运算律：
(1)交换律：
a＋
b＝
b＋
a.
(2)结合律：(
a＋
b)＋
c＝
a＋(
b＋
c)
（二）减法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
运算律：
a－
b＝
a＋(－
b)
（三）数乘，求实数λ与向量a的积的运算.
λa＝
a
(2)当
λ＞0时，
λa的方向与
a的方向
相同；当
λ＜0时，
λa的方向与
a的方向
相反；
λ＝0时，
λa＝
0.
运算律：
λ(
μa)＝
λμa；
λ＋
μ)
a＝
λa＋
μa；
λ(
a＋
b)＝
λa＋
λb.
在平面向量中，可以使用向量的点乘（内积）来确定两个向量之间的夹角。
对于两个非零向量a和b，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：
cos(θ) = (a · b) / (a b)
其中，a · b表示向量a和向量b的点乘（内积），a和b分别表示向量a和向量b的模（长度）。
然后，通过反余弦函数可以计算出夹角θ：
θ = arccos((a · b) / (a b))
需要注意的是，这个夹角θ的值是介于0到π之间的弧度值。如果需要得到夹角的度数表示，可以将弧度值乘以180/π进行转换。
另外，如果a和b是单位向量（模为1），那么夹角θ的计算可以简化为：
cos(θ) = a · b
θ = arccos(a · b)
这是因为单位向量的模为1，所以不需要除以模的乘积。
一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平面向量。
2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。
（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。
（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。
二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。
2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。
三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。
2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。
3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。
4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。
5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。
四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。
2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作用力等物理量，通过分解力求解问题。
3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。
4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。